Программа вступительного экзамена в аспирантуру по специальности математика
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
Механико-математический факультет
(отделение математики)
Экзамен состоит из двух частей: общая часть и специальная. От экзаменующихся требуется знание и свободное владение материалом, предусмотренным общей частью настоящей программы. Специальная часть предусматривает знание основных и специальных курсов по избранной узкой специальности и изложение представленного реферата.
I. ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В АСПИРАНТУРУ ПО КАФЕДРЕ МАТИС
- Критерий полноты Кузнецова для функций k – значной логики.
- Теорема Слупецкого.
- Теорема Линдена для клонов конечных алгебр.
- Теоремы Мура об экспериментах с автоматами.
- Теорема Клини о представлении событий.
- Теорема Мак-Ноттона о представлении сверхсобытий.
- Моделирование в однородных структурах. Универсальность.
- Неэффективность критериев полноты для структурных автоматов.
- Совпадение классов вычислимых и частично-рекурсивных функций.
- Алгоритмически неразрешимые проблемы.
- Алфавитное и оптимальное кодирование.
- Теорема Новикова о персепторне.
- Графы. Теорема о плоской реализации (Понтрягина-Куратовского).
Теорема Шеннона о реберной раскраске. Теорема о потоке через
Сеть.
- Алгоритм распознавания голосованием по тестам.
- Информационно-графовая модель данных.
- Дискретная оптимизация
- Метод ветвей и границ
- Задача о рюкзаке
- Минимизация и сложность д.н.ф. Локальные алгоритмы. Теорема
Журавлева.
- Логика и исчисление высказываний. Полнота и непротиворечивость.
- Логика и исчисление предикатов.
- Формальные языки. Классификация Хомского.
- Схемная сложность булевых функций. Теорема Шеннона.
- Алгоритмическая сложность. P- и NP-полнота.
II. ОБЩАЯ ЧАСТЬ
- Непрерывность функций одной и многих переменных, свойства непрерывных функций. Полный дифференциал и его геометрический смысл. Достаточные условия дифференцируемости. Градиент.
- Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции.
- Понятие метрического пространства, полные метрические пространства, компактность. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Принцип сходимости Коши.
- Функции с ограниченным изменением. Мера в смысле Лебега. Теорема Д.Ф.Егорова, C-свойство. Абсолютно непрерывные функции.
- Суммируемые функции. Интеграл Лебега и его основные свойства. Гильбертовы пространства. Изоморфизм L2 и l2. Сходимость в среднем.
- Интегральные уравнения Фредгольма. Теоремы Фредгольма.
- Ортогональные системы функций. Неравенство Бесселя, условие полноты. Ряды Фурье. Сходимость рядов Фурье.
- Линейные пространства, их подпространства. Базис, размерность. Теорема о ранге матрицы. Системы линейных уравнений. Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений системы однородных линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
- Билинейные и квадратичные функции и формы в линейных пространствах, их матрицы. Приведение к нормальному виду. Закон инерции.
- Линейные отображения и преобразования линейного пространства, их задания матрицами. Характеристический многочлен. Собственные векторы и собственные значения, связь последних с характеристическими корнями. Приведение матрицы, линейного оператора к жордановой форме.
- Евклидово пространство. Ортонормированные базисы. Ортогональные матрицы. Ортогональные и самосопряженные преобразования, приведение квадратичной формы к главным осям.
- Аффинная и метрическая классификация кривых и поверхностей 2-го порядка. Проективная классификация линий 2-го порядка.
- Группы. Подгруппы. Порядок элемента. Циклические группы. Фактор-группы. Теорема о гомоморфизмах.
- Дифференциальное уравнение первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения.
- Линейные уравнения с постоянными коэффициентами: однородные и неоднородные.
- Линейные уравнения в частных производных второго порядка. Их классификация. Задача Дирихле для уравнения Лапласа. Задача Коши для уравнения струны. Первая краевая задача и задача Коши для уравнения теплопроводности.
- Функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Геометрический смысл аргумента и модуля производной.
- Элементарные функции комплексного переменного и даваемые ими конформные отображения. Простейшие многозначные функции. Дробно-линейные преобразования.
- Теорема Коши об интеграле по замкнутому контуру. Интеграл Коши. Ряд Тейлора. Аналитическое продолжение.
- Ряд Лорана. Полюс и существенно особая точка. Вычеты.
- Аналитическая функция в целом. Римановы поверхности.
- Неявные функции. Существование, непрерывность и дифференцируемость неявных функций. Криволинейные координаты на многообразии.
- Первая квадратичная форма поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности. Нормальная кривизна линии на поверхности. Теорема Менье. Геодезическая кривизна. Геодезические линии. Главные направления и главные кривизны. Формула Эйлера. Гауссова кривизна поверхности.
- Понятие топологического пространства. Понятие топологического и гладкого многообразия. Основы римановой геометрии и тензорного анализа (аффинная связность, ковариантное дифференцирование, тензор кривизны).
- Понятие о простейшей проблеме вариационного исчисления. Уравнение Эйлера-Лагранжа. Геодезические линии.
- Дифференциальные формы на многообразиях. Общая теорема Стокса. Следствия для векторных полей в трехмерном пространстве. Дивергенция. Вихрь.
Литература по общей части
- Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии
- Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
- Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре
- Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.
- Кудрявцев Л.Д. Математический анализ
- Курош А.Г. Курс высшей алгебры
- Мальцев А.И. Основы линейной алгебры
- Маркушевич А.И. Введение в теорию аналитических функций.
- Никольский С.М. Курс математического анализа.
- Новиков С.П. Дифференциальная геометрия. I и II.
- Петровский И.Г. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
- Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными.
- Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
- Рашевский П.К. Дифференциальная геометрия.
- Рашевский П.К. Введение в риманову геометрию и тензорный анализ
- Рудин У. Основы математического анализа
- Шабат. Б.В. Введение в комплексный анализ
- Шилов Г.Е. Введение в теорию линейных пространств.
Примечание. Кроме официального списка литературы, еще очень рекомендуются следующие книжки:
- Зорич В.А. Математический анализ. Том I и II. [к билетам 1, 2, 7, 22, 26]
- Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. [к билетам 23-26]
- Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. [к билетам 23-26]
- Соболев С.Л. Уравнения математической физики. [к билетам 6, 16]
- Владимиров В.С. Уравнения математической физики. [к билетам 6, 16]
- Евграфов М.А. Аналитические функции. [к билетам 17-21]
|
